Consommation d'essence

On s'intéresse à la consommation d'essence d'un véhicule en fonction de sa vitesse.

Lecture graphique

Le graphique ci-dessous représente la consommation d'essence en litres pour  \(100\) km en fonction de la vitesse en km.h \(^{-1}\)  du véhicule.

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes.
1. Quelle est la consommation du véhicule lorsque celui-ci roule à \(40\) km.h \(^{-1}\)  ?
2. Pour quelle(s) vitesse(s) le véhicule consomme-t-il \(8\) litres pour \(100\)  km ?
3. Pour quelle vitesse la consommation du véhicule semble-t-elle minimale ?

Modélisation

Si on note x \(x\) la vitesse du véhicule en km.h \(^{-1}\) , avec \(30 \leqslant x \leqslant 130\) , la consommation d'essence en litres pour \(100\) km est modélisée par la fonction \(f\)  d'expression :

\(f(x) = \dfrac{20x^2 - 1\ 600x + 40\ 000}{x^2}\) .
On désigne par \(f'\)  la fonction dérivée de la fonction \(f\)  sur l'intervalle \([30~;130]\) .

4. Montrer que, pour tout  \(x \in [30~;130]\) ,

\(f'(x) = \dfrac{800\left (2x - 100\right )}{x^3}\) .
5. Démontrer la conjoncture de la question 3.